Entiers, changements de bases

Rappels sur l’exponentielle et le logarithme

Simplifier les expressions suivantes :

1. $a^3\times a^4$.
2. $(a^3)^4$.
3. $a^2 \times \frac{1}{a^3}$.
4. $6^6 \times \left(\frac{1}{3}\right)^6$.
5. $\log_a a^{10}$.
6. $\log_2 64$.
7. $\log_2 a + \log_4 a$.
8. $a^{\log_a 11}$.

Conversions de base

Faire les conversions de bases suivants :

1. $(101010)_2$ en base 10.
2. $(1021)_3$ en base 10.
3. $(483)_{10}$ en binaire, puis en ternaire.
4. $(111100011)_2$ en hexadécimal.
5. $(A31B)_{16}$ en base 2.
6. $(10212)_3$ en base 9.

Calculer, sans passer par la base 10, les expressions suivantes :

1. $(102013)_4 + (1)_4$.
2. $(102013)_4 \times (4)_{10}$.
3. $(102013)_4 \div (4)_{12}$.
4. $(101011)_2 + (2A)_{16}$.
5. $(10110)_2 + (111)_2$.
6. $(10110)_2 \times (101)_2$.
7. $\bigl((100)_2\bigr)^4$.

Propriétés des représentations en base $b$

1. Quel est le nombre le plus grand que l’on puisse représenter avec $2$ chiffres binaires ? Et avec $3, 4, \dots$ ? Et en général avec $n$ chiffres ?
2. Pour un entier $m$ quelconque, combien de chiffres binaires faut-il pour le représenter ?
3. Généraliser à une base $b$ quelconque.
4. Sans effectuer la conversion, dire combien de chiffres binaires il faut pour représenter le nombre quarante-deux.
5. Combien faut-il de chiffres hexadécimaux pour représenter le nombre quarante-deux ?